Question

2．设F₁、F₂为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点，过F₂作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若∠PF₁F₂=60°，则椭圆的离心率是2-$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 把x=c代入可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y，利用∠PF₁F₂=60°，即可得出．

解答 解：把x=c代入可得$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$，解得y=±$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∵∠PF₁F₂=60°，
∴$\frac{{b}^{2}}{a}$=$\sqrt{3}×2c$，
化为e²+2$\sqrt{3}$e-1=0，又0＜e＜1，
解得e=2-$\sqrt{3}$．
故答案为：2-$\sqrt{3}$．

点评 本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．