Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，其左、右焦点为F₁、F₂，点P是坐标平面内一点，且|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

其中O为坐标原点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点S（-

6

5

，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设P（x₀，y₀），已知|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，可得

x 2 0 + y 2 0 = 15 2 (-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)= 3 4

，即可解得c，再利用e=

c

a

=

3

2

及a²=b²+c²即可；
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直线l：y=k(x+

6

5

)代入椭圆方程

x2

4

+y2=1得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，只有证明

MA

•

MB

=0即可．

解答：解：（1）设P（x₀，y₀），∵|OP|=

15

2

，

PF1

•

PF2

=

3

4

，
∴

x 2 0 + y 2 0 = 15 2 (-c-x0，-y0)•(c-x0，-y0)= 3 4

，化为

x 2 0 + y 2 0 = 15 4 x 2 0 -c2+ y 2 0 = 3 4

，
解得c=

3

．
又

e= c a = 3 2 a2=b2+c2 c= 3

，解得

a=2 b=1

．
∴椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）存在定点M（-2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
把直线l：y=k(x+

6

5

)代入椭圆方程

x2

4

+y2=1得(1+4k2)x2+

48

5

k2x+

144

25

k2-4=0，
∴x1+x2=-

48k2

5(1+4k2)

，x1x2=

144k2-100

25(1+4k2)

．
∴

MA

•

MB

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=(x1+2)(x2+2)+k(x1+

6

5

)•k(x2+

6

5

)
=（1+k²）x₁x₂+(

6

5

k2+2)(x1+x2)+4+

36

25

k2
=(1+k2)•

144k2-100

25(1+4k2)

+(

6

5

k2+2)•

-48k2

5(1+4k2)

+4+

36

25

k2
=

(144k4+44k2-100)-(288k4+480k2)+(144k4+436k2+100)

25(1+4k2)

=0．
∴MA⊥MB．
即以AB为直径的圆恒过这个定点M（-2，0）．

点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、数量积运算、两点间的距离关系等基础计算与基本技能，考查了推理能力和计算能力．