Question

已知y=f（x）（x∈D，D为此函数的定义域）同时满足下列两个条件：①函数f（x）在D内单调递增或单调递减；②如果存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a，b]，那么称y=f（x），x∈D为闭函数；请解答以下问题：
（1）求闭函数y=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数f(x)=

3

4

x+

1

x

(x∈(0，+∞))是否为闭函数？并说明理由；
（3）若y=k+

x

(k＜0)是闭函数，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）确定y=-x³是R上的减函数，可得a+b=0，又b＞a，即可得出结论；
（2）当x＞0，f(x)=

3

4

x+

1

x

在(0，

2 3

3

]上单调递减，在(

2 3

3

，+∞)上单调递增，可得结论；
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；设函数符合条件②的区间为[a，b]，则

a=k+ a b=k+ b

，利用条件，可得结论．

解答：解：（1）先证y=-x³符合条件①：对于任意x₁，x₂∈R，
且x₁＜x₂，有y1-y2=x23-x13=(x2-x1)(x22+x1x2+x12)=(x2-x1)[(x2+

1

2

x1)2+

3

4

x12]＞0，
∴y₁＞y₂，故y=-x³是R上的减函数．
由题可得：

b=-a3 a=-b3

则（a+b）=-（a³+b³），∴（a+b）[a²-ab+b²+1]=0
而a2-ab+b2+1=(a-

b

2

)2+

3

4

b2+1＞0，∴a+b=0，
又b＞a，∴a=-1，b=1所求区间为[-1，1]
（2）当x＞0，f(x)=

3

4

x+

1

x

在(0，

2 3

3

]上单调递减，在(

2 3

3

，+∞)上单调递增，
所以，函数在定义域上不是单调递增或单调递减函数，从而该函数不是闭函数
（3）易知y=k+

x

是（0，+∞）上的增函数，符合条件①；
设函数符合条件②的区间为[a，b]，则

a=k+ a b=k+ b

；
故a，b是x=k+

x

的两个不等根，即方程组为：

x2-(2k+1)x+k2=0 x≥0 x≥k

有两个不等非负实根；
设x₁，x₂为方程x²-（2k+1）x+k²=0的二根，
则

△=(2k+1)2-4k2＞0 x1+x2=2k+1＞0 x1x2=k2≥0 k＜0

，
解得：-

1

4

＜k＜0，∴k的取值范围(-

1

4

，0)．

点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．