Question

11．据测算：某企业某一种产品的年销售量m万件与年促销费用x万元（x≥0）满足m=6-$\frac{5}{x+1}$．已知该产品的前期投入需要4万元，每生产1万件该产品需要再投入10万元，企业将每件该产品的销售价格定为每件产品年平均成本的$\frac{3}{2}$倍．（定价不考虑促销成本）．
（1）如果该企业不搞促销活动，那么该产品的年销售量是多少万件？
（2）试将该产品的年利润y（万元）表示为年促销费用x（万元）的函数；
（3）x为何值时，该产品的年利润最大，最大年利润是多少万元？

Answer 1

分析 （1）令x=0，求出相应m值，可得答案；
（2）先计算出产品的销售价格，进而可得年利润的表达式；
（3）根据（2）中表达式，结合基本不等式，可得该产品的年利润的最大值．

解答 解：（1）由x=0得：m=1，
即该企业不搞促销活动，那么该产品的年销售量是1万件；
（2）由m=6-$\frac{5}{x+1}$，
每件产品的销售价格为：$\frac{3}{2}$×$\frac{4+10m}{m}$（元），
则该产品的年利润y=m•$\frac{3}{2}$×$\frac{4+10m}{m}$-（4+10m+x）
=2+5m-x
=2+5（6-$\frac{5}{x+1}$）-x
=-[（x+1）+$\frac{25}{x+1}$]+37，（x≥0）
（3）∵y=-[（x+1）+$\frac{25}{x+1}$]+37≤-$2\sqrt{\frac{25}{x+1}•（x+1）}$+37=27，
（当且仅当$\frac{25}{x+1}=（x+1）$，即x=4时，等号成立）．
即该厂家的年促销费用投入为4万元时，该厂家的年利润最大，最大年利润为27万元

点评 本题考查了学生将实际问题转化为数学问题的能力及基本不等式的应用，属于中档题．