Question

【题目】设F1 ， F2分别为椭圆 +y2=1的焦点，点A，B在椭圆上，若 =5 ；则点A的坐标是 ．

Answer 1

【答案】（0，±1）
【解析】解：方法1：直线F1A的反向延长线与椭圆交于点B' 又∵
由椭圆的对称性，得
设A（x1 ， y1），B'（x2 ， y2）
由于椭圆 的a= ，b=1，c=
∴e= ，F1（ ，0）．
∵|F1A|= |x1﹣ |，
|F1B'|= |x2﹣ |，
从而有： |x1﹣ |=5× |x2﹣ |，
由于 ≤x1 ， x2 ，
∴ ﹣x1＞0， ﹣x2＞0，
即 =5×
=5 ． ①
又∵三点A，F1 ， B′共线，
∴（ ，y1﹣0）=5（﹣ ﹣x2 ， 0﹣y2）
∴ ．②
由①+②得：x1=0．
代入椭圆的方程得：y1=±1，
∴点A的坐标为（0，1）或（0，﹣1）
方法2：因为F1 ， F2分别为椭圆 的焦点，则 ，
设A，B的坐标分别为A（xA ， yA），B（xB ， yB），
若 ；则 ，所以 ，
因为A，B在椭圆上，所以 ，代入解得 或 ，
故A（0，±1）．
方法三、由e=| |，λ=5，e= ，cosθ= ，sinθ= ，
k=tanθ= ，由 ，即可得到A（0，±1）．
所以答案是：（0，±1）．