Question

【题目】设m，n∈R，定义在区间[m，n]上的函数f（x）=log2（4﹣|x|）的值域是[0，2]，若关于t的方程（ ）|t|+m+1=0（t∈R）有实数解，则m+n的取值范围是 ．

Answer 1

【答案】[1,2）
【解析】解：∵函数f（x）=log2（4﹣|x|）的值域是[0，2]，

∴1≤4﹣|x|≤4，

∴0≤|x|≤3，

∴m=﹣3，0≤n≤3，或﹣3≤m≤0，n=3；

又∵关于t的方程（ ）|t|+m+1=0（t∈R）有实数解，

∴m=﹣（（ ）|t|+1），

∵1＜（ ）|t|+m+1≤2，

∴﹣2≤m＜﹣1，

则n=3，

则1≤m+n＜2，

即答案为：[1，2）．

【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的值域(求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的)，还要掌握函数的零点(函数的零点就是方程的实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标．即：方程有实数根，函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点)的相关知识才是答题的关键．