Question

曲线C₁：

x2

16

+

y2

4

=1（y≤0），曲线C₂：x²=4y．自曲线C₁：上一点A作C₂的两条切线切点分别为B，C．
（1）若A点坐标为（2

3

，-1），F（0，1）．求证：B，F，C三点共线；
（2）求S_△ABC的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）利用导数的几何意义求出直线BC的方程2

3

x=2y-2，由F（0，1）在直线BC上，能证明B，F，C三点共线．
（2）设l_BC：y=kx+b，由

x2=4y y=kx+b

，得x²-4kx-4b=0，设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由已知条件求出A（2k，-b）．从而得到S_△ABC=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-2k2-2b|

1+k2

≤

17 17

2

．由此能求出S_△ABC的最大值．

解答： （1）证明：∵x²=4y，∴y=

x2

4

，∴y′=

1

2

x，
设B（x₀，

x02

4

），则过B点的切线方程为：
y-

1

4

x02=

1

2

x0(x-x0)，
∵A（2

3

，-1）在切线方程上，
∴-1-

1

4

x02=

1

2

x0（2

3

-x0），
解得x₀=2

3

±4，
∴B（2

3

+4，7+4

3

），B（2

3

-4，7-4

3

），
∴直线BC的方程2

3

x=2y-2，
∵F（0，1）在直线BC上，∴B，F，C三点共线．
（2）设l_BC：y=kx+b，
由

x2=4y y=kx+b

，得x²-4kx-4b=0，
设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b，
AB：y=k1(x-x1)+

x12

4

，代入x²=4y，得x2-4k1x+4k1x1-x12=0，
△=16k12-16k1x1+4x12=0.k1=

1

2

x1，AB：y=

1

2

x1x-

x12

4

，
同理，AC：y=

1

2

x2x-

x22

4

，
∴A：

x= 1 2 (x1+x2)=2k y= 1 4 x1x2=-b

，即A（2k，-b）．
∴

4k2

16

+

b2

4

=1，k²+b²=4，0≤b≤2，
d_A-BC=

|-2k2-2b|

1+k2

，|x₁-x₂|=

16k2+16b

，|BC|=

1+k2

|x1-x2|，
S_△ABC=

1

2

1+k2

|x1-x2|•

|-2k2-2b|

1+k2

=

16k2+16b

|k2+b|
=4（k²+b） 

3

2

=4（4-b²+b） 

3

2

=4(-(b-

1

2

)2+

17

4

)

3

2

≤

17 17

2

．
当b=

1

2

，k=±

15

2

时取等号，
∴S_△ABC的最大值为

17 17

2

．

点评：本题考查三点共线的证明，考查三角形面积最大值的求法，解题时要认真审题，注意导数的几何意义的合理运用．