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(1)已知双曲线C1与椭圆C2
x2
36
+
y2
49
=1
有公共的焦点,并且双曲线的离心率e1与椭圆的离心率e2之比为
7
3
,求双曲线C1的方程.
(2)以抛物线y2=8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P,求P点的轨迹方程.
分析:(1)根据椭圆C2
x2
36
+
y2
49
=1
的焦点坐标为(0,±
13
),椭圆C2离心率,可求C1的焦点坐标与离心率e1与椭圆的离心率,进而利用待定系数法可求双曲线的方程;
(2)设点M(x0,y0),P(x,y),根据线段MA的中点为P,确定动点坐标之间的关系,从而可得点P的轨迹方程.
解答:解:(1)椭圆C2
x2
36
+
y2
49
=1
的焦点坐标为(0,±
13
),∴C1的焦点坐标为(0,±
13

椭圆C2离心率e2=
13
7
,双曲线的离心率e1与椭圆的离心率e2之比为
7
3
,∴e1=
13
3

设双曲线的方程为
y2
a2
-
x2
b2
=1(a,b>0)
,则
a2+b2=13
a2+b2
a2
=
13
9
,解得a2=9,b2=4
∴双曲线的方程为
y2
9
-
x2
4
=1

(2)设点M(x0,y0),P(x,y),则
x=
x0+6
2
y=
y0
2
,∴
x0=2x-6
y0=2y

代入
y
2
0
=8x0
得:y2=4x-12,即为点P的轨迹方程.
点评:本题考查双曲线的标准方程,考查代入法求轨迹方程,考查椭圆与双曲线的几何性质,掌握求轨迹方程的方法是关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•天津)已知双曲线C1
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)
与双曲线C2
x2
4
-
y2
16
=1
有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(
5
,0).则a=
1
1
,b=
2
2

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•天津模拟)已知双曲线C1
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,抛物线C2的顶点在原点,它的准线与双曲线C1的左准线重合,若双曲线C1与抛物线C2的交点P满足PF2⊥F1F2,则双曲线C1的离心率为
3
3

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知双曲线C1:x2-y2=m(m>0)与椭圆C2
x2
a2
+
y2
b2
=1
有公共焦点F1F2,点N(
2
,1)
是它们的一个公共点.
(1)求C1,C2的方程;
(2)过点F2且互相垂直的直线l1,l2与圆M:x2+(y+1)2=4分别相交于点A,B和C,D,求|AB|+|CD|的最大值,并求此时直线l1的方程.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(1)已知双曲线C1与椭圆C2
x2
36
+
y2
49
=1
有公共的焦点,并且双曲线的离心率e1与椭圆的离心率e2之比为
7
3
,求双曲线C1的方程.
(2)以抛物线y2=8x上的点M与定点A(6,0)为端点的线段MA的中点为P,求P点的轨迹方程.

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