Question

已知函数y=-3sin（x-

π

3

）+2，x∈[0，π]．
（1）求函数的值域以及取得最大值时x的值；
（2）求该函数的单调增区间．

Answer 1

考点：正弦函数的单调性,三角函数的最值

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）由x∈[0，π]可得x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]．从而有当x-

π

3

=

π

2

时，函数y取最小值为-1，当x-

π

3

=-

π

3

时，即x=0时，函数y取最大值为2+

3 3

2

，
即有函数的值域为[-1，2+

3 3

2

]．
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

，k∈Z，从而得函数的单调增区间为：[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

]，k∈Z

解答： 解：（1）∵x∈[0，π]．
∴x-

π

3

∈[-

π

3

，

2π

3

]．
∴当x-

π

3

=

π

2

时，函数y取最小值为-1，
当x-

π

3

=-

π

3

时，即x=0时，函数y取最大值为2+

3 3

2

，
∴函数的值域为[-1，2+

3 3

2

]．
（2）令2kπ+

π

2

≤x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z可解得：2kπ+

5π

6

≤x≤2kπ+

11π

6

，k∈Z
故函数的单调增区间为：[2kπ+

5π

6

，2kπ+

11π

6

]，k∈Z

点评：本题主要考察了正弦函数的单调性，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．