Question

6．在平面直角坐标系中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），又点A（8，0），B（-8，t），C（8sinθ，t）．
（1）若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，求向量$\overrightarrow{OB}$的坐标；
（2）若向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，当tsinθ取最小值时，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$的值．

Answer 1

分析 （1）根据若$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，转化为$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，解方程即可．
（2）根据向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，建立方程关系，转化为一元二次函数进行求解．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{AB}=（-16，t），\overrightarrow a=（1，2）$
∵$\overrightarrow{AB}$⊥$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{a}$=0，即-16+2t=0，得t=8
故$\overrightarrow{OB}=（-8，8）$…（6分）
（Ⅱ）∵向量$\overrightarrow{AC}$与向量$\overrightarrow{a}$共线，$\overrightarrow{AC}=（8sinθ-8，t）$，$\overrightarrow a=（1，2）$
∴$\frac{8sinθ-8}{1}=\frac{t}{2}$，得t=16sinθ-16…（8分），
$tsinθ=16{sin^2}θ-16sinθ=16{（sinθ-\frac{1}{2}）^2}-4$
故当sinθ=$\frac{1}{2}$时，tsinθ取最小值4，…（10分）
此时$\overrightarrow{OC}=（4，-8）$，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}=（8，0）•（4，-8）=32$．

点评 本题主要考查向量数量积的应用，根据向量垂直和向量关系的坐标公式是解决本题的关键．考查学生的运算能力．