【题目】已知函数.
(1)当时,求函数
在
上的最大值;
(2)令,若
在区间
上为单调递增函数,求
的取值范围;
(3)当时,函数
的图象与
轴交于两点
且
,又
是
的导函数.若正常数
满足条件
.证明:
<0.
【答案】(1)(2)
(3)
,理由见解析
【解析】试题分析:(1),可知
在[
,1]是增函数,在[1,2]是减函数,所以最大值为f(1).(2)
在区间
上为单调递增函数,即
在
上恒成立。
,利用分离参数
在
上恒成立,即求
的最大值。
(3)有两个实根
,
,两式相减
,又
,
.要证:
,只需证:
,令
可证。
试题解析:(1)
函数,1]是增函数,在[1,2]是减函数,
所以.
(2)因为,所以
,
因为在区间
单调递增函数,所以
在(0,3)恒成立
,有
=
,(
)
综上:
(3)∵,又
有两个实根
,
∴,两式相减,得
,
∴,
于是
.
要证:,只需证:
只需证:.(*)
令,∴(*)化为
,只证
即可.
在(0,1)上单调递增,
,
即.∴
.
(其他解法根据情况酌情给分)
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位将举办庆典活动,要在广场上竖立一形状为等腰梯形的彩门(如图).设计要求彩门的面积为
(单位:
),高为
(单位:
)(
为常数).彩门的下底
固定在广场底面上,上底和两腰由不锈钢支架构成,设腰和下底的夹角为
,不锈钢支架的长度和记为
.
(1)请将表示成关于
的函数
;
(2)问当为何值
最小,并求最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为创建全国文明城市,某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名,按年龄作分组如下:[20,25) , [25,30) , [30,35), [35,40) , [40,45] ,并得到如下频率分布直方图.
(Ⅰ)求图中 的值,并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在[30.40)的人数;
(Ⅱ)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取10名参加区电视台“文明伴你行”节目录制,再从这10名志愿者中随机选取3名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历,记这3名志愿者中年龄不低于35岁的人数为 ,求
的分布列及数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直角梯形中,
是边长为2的等边三角形,
.沿
将
折起,使
至
处,且
;然后再将
沿
折起,使
至
处,且面
面
,
和
在面
的同侧.
(Ⅰ) 求证:平面
;
(Ⅱ) 求平面与平面
所构成的锐二面角的余弦值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
的图象过点
。
(1)求的值并求函数
的值域;
(2)若关于的方程
有实根,求实数
的取值范围;
(3)若函数,
,则是否存在实数
,使得函数
的最大值为0?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有 名男生,
名女生,在下列不同条件下,求不同的排列方法种数.(最后结果化成数
字)
(1)排成前后两排,前排 人,后排
人;
(2)全体排成一排,甲不站在排头也不站在排尾;
(3)全体排成一排,女生必须站在一起;
(4)全体排成一排,男生不能相邻.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数
(1)设,当
时,求函数
的定义域,判断并证明函数
的奇偶性;
(2)是否存在实数,使得函数
在
递减,并且最小值为1,若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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