Question

【题目】抛物线焦点为F，上任一点P在y轴的射影为Q，PQ中点为R，．

（1）求动点T的轨迹的方程；

（2）直线过F与从下到上依次交于A，B，与交于F，M，直线过F与从下到上依次交于C，D，与交于F，N，，的斜率之积为-2．

（i）求证：M，N两点的横坐标之积为定值；

（ii）设△ACF，△MNF，△BDF的面积分别为，，，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）（i）见解析（ii）见解析

【解析】

（1）求出抛物线的焦点坐标，设P，则R，再设T（x，y），由可得T与P的坐标的关系，再由P在抛物线上可得动点T的轨迹的方程；

（2）（i）联立与抛物线可得M的坐标，同理可得N的坐标，可得M，N的横坐标之积；（ii）利用三角形的面积公式求出，，，再求出为定值4．

（1）由抛物线，得F（0，1），设P，则R，再设T（x，y），由，得（x，y）=+（0，1）=，

∴，则，

∵P（在抛物线上，

∴，即，

所以动点T的轨迹的方程是．

（2）（i）设直线，直线，

联立消去y并整理得，解得x=0，或，所以M（，1+），

同理可得N（，1+），∴·=-2，

所以M，N两点的横坐标之积为-2．

（ii）联立得

设A，B，C，D，

则,，

同理,，

，

同理，

设∠AFC=θ，

则

由（i）得，，

∴=

∴

所以为定值4．