Question

【题目】已知椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，为坐标原点.

（1）若的斜率为，为的中点，且的斜率为，求椭圆的方程；

（2）连结并延长，交椭圆于点，若椭圆的长半轴长是大于的给定常数，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设出点的坐标，利用点差法求得的数值，结合以及，求得的值，由此求得椭圆方程.（2）根据已知得到，设出的坐标和直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，写出韦达定理.求得三角形面积的表达式，利用基本不等式和单调性，求得面积最大值的表达式.

（1）设，则

，，.

由此可得；

因为，，，所以

又由左焦点为，故，因此.所以的方程为

（2）因为椭圆的半焦距，所以，设，直线的方程，

由方程组消去得:,

,且恒成立，

连结，由知，

，

令，则，

①若，即，则，当且仅当，

即时，；

②若，即，设，则时，

在上单调递增，所以，当且仅当，

即时，；

综上可知：