Question

【题目】已知函数的定义域为，对于任意的都有，设时， .

（1）求；

（2）证明：对于任意的， ；

（3）当时，若不等式在上恒定成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) ; (2)详见解析;(3) .

【解析】试题分析：（1）令， ， ；（2）令， ， ， ，结合时， 即可得结果；（3）先证明函数在单调递减，根据，将原不等式化为，可得化简，利用不等式恒成立可得结果..

试题解析：（1）令， ， .

（2）由题意当时，

由（1）知，当，

所以下证，当时，

， .

（3）

令， ， ，假设，

故函数在单调递减，

化简得：

， .

【方法点晴】本题主要考查抽象函数的定义域、抽象函数的单调性及抽象函数解不等式，属于难题.根据抽象函数的单调性解不等式应注意以下三点：（1）一定注意抽象函数的定义域（这一点是同学们容易疏忽的地方，不能掉以轻心）；（2）注意应用函数的奇偶性（往往需要先证明是奇函数还是偶函数）；（3）化成 后再利用单调性和定义域列不等式组.