Question

若S_n=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

（n∈N^*），在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是

86

．

Answer 1

分析：由sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，可得到S₁＞0，…S₁₃＞0，而S₁₄=0，从而可得到周期性的规律，从而得到答案．

解答：解：∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，sin

7π

7

=0，sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，sin

14π

7

=0，
∴S₁=sin

π

7

＞0，
S₂=sin

π

7

+sin

2π

7

＞0，
…，
S₈=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

=sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

＞0，
…，
S₁₂＞0，
而S₁₃=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

6π

7

+sin

7π

7

+sin

8π

7

+sin

9π

7

+…+sin

13π

7

=0，
S₁₄=S₁₃+sin

14π

7

=0+0=0，
又S₁₅=S₁₄+sin

15π

7

=0+sin

π

7

=S₁＞0，S₁₆=S₂＞0，…S₂₇=S₁₃=0，S₂₈=S₁₄=0，
∴S_14n-1=0，S_14n=0（n∈N*），在1，2，…100中，能被14整除的共7项，
∴在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，为0的项共有14项，其余项都为正数．
故在S₁，S₂，…，S₁₀₀中，正数的个数是86．
故答案为：86．

点评：本题考查数列与三角函数的综合，通过分析sin

nπ

7

的符号，找出S₁，S₂，…，S₁₀₀中，S_14n-1=0，S_14n=0是关键，也是难点，考查学生分析运算能力与冷静坚持的态度，属于难题．