Question

若Sn=sin

π

7

+sin

2π

7

+…+sin

nπ

7

(n∈N*)，则在S₁，S₂，…，S₂₀₁₃中，正数的个数是

1728

．

Answer 1

分析：利用三角函数诱导公式，考察S₁，S₂，…，发掘规律，进行求解．

解答：解：正弦函数是幅值在[-1，1]内的周期函数．
且有sinx=-sin（x+π），sinx=sin（x+2π）．
∵sin

π

7

＞0，sin

2π

7

＞0，…，sin

6π

7

＞0，
sin

8π

7

＜0，…，sin

13π

7

＜0，
sin

7π

7

=0，sin

14π

7

=0．
∴S₁＞0，…，S₇＞0，…S₁₂＞0，S₁₃=0，S₁₄=0．S₁₅＞0…，
后面以此类推，直到S₂₀₀₂=0（每14个数分成一组）．
每组中大于0的个数是12，到S₂₀₀₂共有143组，
而S ₂₀₀₃＞0，S2004＞0，…，S ₂₀₁₃＞0，
所以正数共有12×143+11=1728个．

点评：本题考查三角函数诱导公式的应用，属于基础题．