Question

设AB为过椭圆x²+4y²=4中心的弦，F为焦点，求△FAB的最大面积．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意设A（x₀，y₀），B（-x₀，-y₀），表示出直线AB的方程，求出|AB|，及点F到直线AB的距离，表示出面积S=|y₀|c，所以当|y₀|取最大值b时，△FAB的面积最大，并且最大为bc．

解答： 解：设A（x₀，y₀），则B（-x₀，-y₀），直线AB的方程为：y=

y0

x0

x；
∴|AB|=2

x02+y02

，F到AB的距离为：

c|y0|

y02+x02

；
∴△FAB的面积为：S=

1

2

•2

x02+y02

•

c|y0|

y02+x02

=c|y₀|；
∵-b≤y₀≤b，∴|y₀|=b时，S取最大值bc=

3

．

点评：考查椭圆的几何性质：图形关于原点对称，直线的点斜式方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式．