Question

【题目】已知数列{an}中，已知a1=1，a2=a，an+1=k（an+an+2）对任意n∈N*都成立，数列{an}的前n项和为Sn ．
（1）若{an}是等差数列，求k的值；
（2）若a=1，k=﹣ ，求Sn；
（3）是否存在实数k，使数列{am}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am ， am+1 ， am+2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵{an}是等差数列，则2an+1=an+an+2对任意n∈N*都成立，

又an+1=k（an+an+2）对任意n∈N*都成立，

∴k=

（2）解：∵an+1= （an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），

an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an，

当n是偶数时，

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）= （a1+a2）= （a+1），

当n是奇数时，

Sn=a1+a2+a3+a4+…+an﹣1+an=a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an），

=a1+ （a2+a3）=a1+ [﹣（a1+a2）]=1﹣ （a+1），n=1也适合上式．

综上可得，Sn=

（3）解：方法一：假设存在实数k，使数列{am}是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项am，am+1，am+2按某顺序排列后成等差数列．am，am+1，am+2分别表示为：am，amq， ．

只考虑：1，q，q2（q≠1）的三种排列即可：

1，q，q2；1，q2，q；q2，1，q．可得2q=1+q2，2q2=1+q；2=q2+q．

分别解得q=1；q=1或﹣ ；q=1或q=﹣2．

∴只有q=﹣2满足条件．∴相邻三项am，am+1，am+2分别为：am，﹣2am，4am．

∴﹣2am=k（am+4am）．解得k=﹣ ．

方法二：设数列{am}是等比数列，则它的公比q= =a，则am=am﹣1，am+1=am，am+2=am+1，…6分 ①若am+1为等差中项，则2am+1=am+am+2，即2am=am﹣1+am+1，解得：a=1，不合题意；

②若am为等差中项，则2am=am+1+a+2，即2am﹣1=am+am+1，化简得：a2+a﹣2=0，

解得：a=﹣2或a=1（舍）；k= = = =﹣ ；

③若am+2为等差中项，2am+2=am+am+1，即2am+1=am﹣1+am，化简得：2a2﹣a﹣1=0，

解得a=﹣ ；k= = = =﹣ ；

综上可得，满足要求的实数k有且仅有一个，k=﹣

【解析】（1）由等差数列等差中项的性质即可求得k的值；（2）由an+1= （an+an+2），an+2+an+1=﹣（an+1+an），an+3+an+2=﹣（an+2+an+1）=an+1+an ， 分类，根据n为偶数或奇数时，分组，即可求得Sn；（3）方法一：由题意根据等比数列的性质，分别求得q的值，求得任意相邻三项的顺序，即可求得k的值，方法二：分类，根据等差数列的性质，求得a的值，即可求得k的值．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的前n项和的相关知识点，需要掌握通项公式：或；数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题．