Question

14．在数列{a_n}中，a_n+1=2+$\frac{2}{3}$S_n，且a₁=3，求a_n．

Answer 1

分析 由递推式a_n+1=2+$\frac{2}{3}$S_n，a₁=2，a_n=2+$\frac{2}{3}$S_n-1．相减可化为a_n+1与a_n的关系，再利用等比数列的通项公式即可得出

解答 解：∵a_n+1=2+$\frac{2}{3}$S_n，a₁=3，a_n=2+$\frac{2}{3}$S_n-1．n＞1，
∴a_n+1-a_n=$\frac{2}{3}$a_n，
∴a_n+1=$\frac{5}{3}$a_n．n＞1，
n=1时，a₂=2+$\frac{2}{3}$a₁，且a₁=3，a₂=4，
∴数列{a_n}从第二项起为等比数列，首项为4，公比为$\frac{5}{3}$，
∴an=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{4•（\frac{5}{3}）^{n-2}，n＞1}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力．