Question

已知曲线f（x）=x³+ax²+bx+1，（a，b∈R）在（1，2）处的切线方程是y=4x-2，则函数y=f（x）的极大值为________．

Answer 1

2
分析：利用函数的导数，求出函数导数在x=1时的导函数值，就是切线的斜率，利用（1，2）是函数上的点，得到a，b的关系式，求出a，b的值，通过导数为0，判断函数的绝对值点，求出极大值即可．
解答：因为f（x）=x³+ax²+bx+1，所以f′（x）=3x²+2ax+b，
令x=1得f′（1）=3+2a+b．
由已知f′（1）=4，所以3+2a+b=4．即2a+b=1…①
又（1，2）是曲线f（x）=x³+ax²+bx+1上的点，得2=1+a+b+1，a+b=0…②．
解①②得．a=1，b=-1，
所以f（x）=x³+x²-x+1；
∴f′（x）=3x²+2x-1；
令f′（x）=0，即3x²+2x-1=0．解得x=-1，或x=，
x∈（-∞，-1）函数是增函数，x∈（）时函数是减函数；x∈，函数是增函数，
所以x=-1时函数取得绝对值，
f（-1）=（-1）³+（-1）²-（-1）+1=2．
故答案为：2．
点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及方程组的求解等有关问题，属于中档题．