Question

（2012•宝山区一模）两个圆锥有等长的母线，它们的侧面展开图恰好拼成一个圆，若它们的侧面积之比为1：2，则它们的体积比是

1：

10

．

Answer 1

分析：设母线长为l，小圆锥半径为r、高为h，大圆锥半径为R，高为H，根据侧面积之比可得R=2r．再由圆锥侧面展开扇形圆心角的公式得到l=3r，利用勾股定理得到h、H关于r的式子，从而将两个圆锥的体积都表示成r的式子，求出它们的比值．

解答：解：设圆锥母线长为l，侧面积较小的圆锥半径为r，侧面积较大的圆锥半径为R，它们的高分别为h、H，则
πrl：πRl=1：2，得R=2r
∵两圆锥的侧面展开图恰好拼成一个圆，
∴

2π

3

=

r

l

×2π，得l=3r．再由勾股定理，得h=

l2-r2

=2

2

r
同理可得，H=

l2-R2

=

5

r
∴两个圆锥的体积之比为（

1

3

π•r²•2

2

r）：（

1

3

π•4r²•

5

r）=1：

10

故答案为：1：

10

点评：本题给出母线相等的两个圆锥侧面积的比，并且侧面展开图恰好拼成一个圆，求它们的体积之比，着重考查了圆锥侧面展开图的认识和锥体体积公式等知识，属于中档题．