Question

（2012•宝山区一模）已知函数f（x）=log₂x，若2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差数列．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式；
（2）设g（k）是不等式log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*）整数解的个数，求g（k）；
（3）记数列{

12

an

}的前n项和为S_n，是否存在正数λ，对任意正整数n，k，使S_n-λ

ak

＜λ²恒成立？若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设知f（a_n）=2n+2，所以log₂a_n=2n+2，由此能够求出数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式．
（2）由log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*），知log2x+log2(3•2k+1-x)≥2k+3，所以x∈[2^k+1，2^k+2]，由此能求出g（k）．
（3）由题意，S_n=1-

1

4n

，

ak

=2^k+1．由Sn-λ

ak

＜λ2恒成立，S_n＞0，λ＞0，知当S_n取最大值，

ak

取最小值时，S_n-λ

ak

取到最大值．由此入手能够求出λ的取值范围．

解答：解：（1）∵2，f（a₁），f（a₂），f（a₃），…，f（a_n），2n+4，…，（n∈N^*）成等差数列，
∴f（a_n）=2n+2，
∴log₂a_n=2n+2，…（2分）
∴an=22n+2．…（4分）
（2）∵log₂x+log₂（3

ak

-x）≥2k+3（k∈N^*），
∴log2x+log2(3•2k+1-x)≥2k+3，
∴log2[x(3•2k+1-x)]≥2k+3，
∴x²-3•2^k+1x+2•2^2k+2≤0，
∴（x-2^k+1）（x-2^k+2）≤0，
∴x∈[2^k+1，2^k+2]，…（8分）
其中整数个数g（k）=2^k+1+1．…（10分）
（3）由题意，Sn=12×

1 16 [1- 1 4n ]

1- 1 4

=1-

1

4n

，

ak

=2^k+1．…（12分）
又Sn-λ

ak

＜λ2恒成立，S_n＞0，λ＞0，
所以当S_n取最大值，

ak

取最小值时，S_n-λ

ak

取到最大值．…（14分）
又S_n＜1，

ak

≥4，所以1-4λ≤λ²，…（16分）
解得λ≥-2+

5

．…（18分）

点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．