Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-ax2+(a2-1)x+b(a，b∈R)
（1）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y-3=0，求f（x）在区间[-2，4]上的最大值；
（2）当a≠0时，若f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求f（1），利用（1，f（1））在y=f（x）上，及f'（1）=-1，建立方程，即可求得函数解析式，进而可得函数的极值，利用函数的最值在极值与端点处取得，可得结论；
（2）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点，利用f'（-1）f'（1）＜0，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）∵（1，f（1））在x+y-3=0上，∴f（1）=2
∵（1，2）在y=f（x）上，
∴2=

1

3

-a+a2-1+b
又f'（1）=-1，∴1-2a+a²-1=-1
∴a²-2a+1=0，解得a=1，b=

8

3

∴f(x)=

1

3

x2-x2+

8

3

，f′(x)=x2-2x
由f'（x）=0可知x=0和x=2是f（x）的极值点．
∵f(0)=

8

3

，f(2)=

4

3

，f(-2)=-4，f(4)=8
∴f（x）在区间[-2，4]上的最大值为8．
（2）因为函数f（x）在区间（-1，1）不单调，所以函数f'（x）在（-1，1）上存在零点．
而f'（x）=0的两根为a-1，a+1，区间长为2，
∴在区间（-1，1）上不可能有2个零点．
所以f'（-1）f'（1）＜0，即a²（a+2）（a-2）＜0．
∵a²＞0，∴（a+2）（a-2）＜0，-2＜a＜2．
又∵a≠0，
∴a∈（-2，0）∪（0，2）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，函数f（x）在区间（-1，1）不单调，转化为函数f'（x）在（-1，1）上存在零点是解题的关键．