Question

（本小题满分12分）已知椭圆经过点，一个焦点是．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆与轴的两个交点为、，点在直线上，直线、分别与椭圆交于、两点．试问：当点在直线上运动时，直线是否恒经过定点？证明你的结论．

 

Answer 1

【答案】

（本小题满分12分）

解：（I）方法1：椭圆的一个焦点是 ，

∴，             ………………（2分）

∵，∴，∴椭圆方程为       ………………（4分）

方法2：，可设椭圆方程为         ………………（2分）

∵在椭圆上，所以（舍去）

∴椭圆方程为                          ………………（4分）

（II）

方法1：当点在轴上时，、分别与、重合，

若直线通过定点，则必在轴上，设，………………（6分）

当点不在轴上时，设，、，，

直线方程，方程，

代入得，

解得，，

∴，              ……………（8分）

代入得

解得，，

∴，               ………………（10分）

∵，

∴，

∴，，

∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．……………（12分）

方法2：直线恒经过定点，证明如下：

当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（6分）

当点不在轴上时，设，、，，

直线方程，方程，

代入得，

得，，∴，……………（8分）

代入得

得，， …………（10分）

∴，直线恒经过定点．        ………………（12分）

方法3：∵、、三点共线， 、、三点也共线，

∴是直线与直线的交点，

当斜率存在时，设：，代入，

得，，，

直线方程，直线方程，

分别代入，得，，

∴，即，

，

∴对任意变化的都成立，只能，

∴直线，通过点

当斜率不存在时，直线即轴，通过点，……………（10分）

∴当点在直线上运动时，直线恒经过定点．

【解析】略