Question

（2006•黄浦区二模）设a为正数，直角坐标平面内的点集A={（x，y）|x，y，a-x-y是三角形的三边长}．
（1）画出A所表示的平面区域；
（2）在平面直角坐标系中，规定a∈Z，且y∈Z时，（x，y）称为格点，当a=8时，A内有几个格点（本小题只要直接写出结果即可）；
（3）点集A连同它的边界构成的区域记为

.

A

，若圆{(x，y)|(x-p)2+(x-q)2=r2}⊆

.

A

(r＞0)，求r的最大值．

Answer 1

分析：（1）根据三角形的三边满足的条件2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x，画出A所表示的平面区域；
（2）当a=8时，结合图形列出A内的格点，得到格点个数，
（3）结合图象，当圆与三角形相切时半径最大，根据等面积法求出r的最大值．

解答：解：（1）集合A表示一个点集（平面上一组点），这些点的横纵坐标满足：2x+2y＞a； a＞2y；a＞2x
其中a是正数．
表示一个由直线2x+2y=a 和x=

a

2

和y=

a

2

围成的三角形区域．

（2）当a=8时，A内的格点有（2，3），（3，2），（3，3）共3个格点．
（3）结合图象，当圆与三角形相切时半径最大，根据等面积法得到

a

2

r+

a

2

r+

2

2

ar=

a

2

×

a

2

解得r=

2- 2

4

a

点评：本题考查画不等式组表示的平面区域是解决线性规划问题的关键，当圆与三角形相切时三角形内的圆半径最大，属于中档题．