Question

已知：函数f（x）=x³-6x+5，x∈R，
（1）求：函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，求：实数a的取值范围；
（3）当x∈（1，+∞）时，f（x）≥k（x-1）恒成立，求：实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先求函数的导数，令导数等于0，求出极值点，再列表判断极值点左右两侧导数的正负，当左正右负时有极大值，当左负右正时有极小值，且在某区间导数大于0时，此区间为函数的增区间，在某区间导数小于0时，此区间为函数的减区间．
（2）由（1）知函数f（x）的大致图象，然后将关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，转化为y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，数形结合解决问题
（3）先将f（x）≥k（x-1）恒成立，转化为k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，进而转化为求函数g（x）=x²+x-5在（1，+∞）上的值域即可

解答：解：（1）求函数f（x）=x³-6x+5的导数，得f'（x）=3（x²-2），
令f'（x）=0，即3（x²-2）=0，解得x1=-

2

，x2=

2

，
列表讨论f′（x）的符号，得

x	(-∞，- 2 )	- 2	(- 2 ， 2 )	2	( 2 ，+∞)
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值	↘	极小值	↗

∴f（x）的单调递增区间是(-∞，-

2

)，(

2

，+∞)，单调递减区间是(-

2

，

2

)，
当x=-

2

时，函数有极大值为5+4

2

，当x=

2

时，函数有极小值为5-4

2

（2）由（1）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向如图：
若关于x的方程f（x）=a有3个不同实根，即y=f（x）图象与直线y=a有3个不同交点，
由图数形结合可得
5-4

2

＜a＜5+4

2

（3）f（x）≥k（x-1）即（x-1）（x²+x-5）≥k（x-1）．
∵x＞1，∴k≤x²+x-5在（1，+∞）上恒成立，
令g(x)=x2+x-5=(x+

1

2

)2-

21

4

，则g（x）在（1，+∞）上是增函数，
∴g（x）＞g（1）=-3，
∴k≤-3．

点评：本题考查了利用导数求函数单调区间和极值的方法，利用导数研究函数图象解决根的个数问题的方法，不等式恒成立问题的解法