Question

【题目】已知常数m≠0，n≥2且n∈N，二项式（1+mx）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，第三项系数是第二项系数的9倍．
（1）求m、n的值；
（2）若记（1+mx）n=a0+a1（x+8）+a2（x+8）2+…+an（x+8）n ， 求a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan除以6的余数．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵（1+mx）n的展开式中，只有第6项的二项式系数最大，

∴展开式共有11项，故n=10．

在（1+mx）10展开式中，第r+1项为 ，

∴第二项系数为 ，第三项系数 ，

∴45m2=90m，∴m=2（m=0舍）

（2）解：在 中，

令x=﹣9，得： =（1﹣9m）n

=（1﹣9×2）10=（﹣17）10=1710=（18﹣1）10

=

=

= ，

∵ ，

∴a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan除以6的余数为1

【解析】（1）利用二项式系数的性质求得n=10，再根据第三项系数是第二项系数的9倍，求得m的值．（2）令x=﹣9，可得a0﹣a1+a2﹣a3+…+（﹣1）nan=（18﹣1）10 ， 再把它按照二项式定理展开，求得它除以6的余数．