Question

在等差数列{a_n}中，若任意两个不等的正整数k，p，都有a_k=2p+1，a_p=2k+1，设数列{a_n}的前n项和为S_n，若k+p=m，则S_m=

m²

（结果用m表示）．

Answer 1

分析：设公差为d，由a_k=2p+1，a_p=2k+1求得d=-2，a₁=2m-1，代入 S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d，运算求得结果．

解答：解：设公差为d，∵a_k =2p+1=a₁+（k-1）d   （1），a_p=2k+1=a₁+（p-1）d  （2），
由（1）-（2）可得d=-2．
把d=-2代入a_k=2p+1可得 a₁+（k-1）（-2）=2p+1，∴a₁ =2p+2k-1=2m-1，
 S_m=ma₁+

m(m-1)

2

d=m（2m-1）+

m(m-1)

2

•(-2)=m²，
故答案为 m²．

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式的应用，求出首项和公差d的值，是解题的关键，属于中档题．