Question

2．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，且在区间[0，+∞）单调递减，若实数a满足f（log₃a）+f（${log_{\frac{1}{3}}}a$）≥2f（1），则a的取值范围是（　　）

• A． （0，3]
• B． （0，$\frac{1}{3}$]
• C． [$\frac{1}{3}$，3]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），f（log₃a）+f（-log₃a）≥2f（1），即为f（|log₃a|）≥f（1），再由f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，得到|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，解出即可．

解答 解：由于函数f（x）是定义在R上的偶函数，
则f（-x）=f（x），即有f（x）=f（|x|），
由实数a满足f（log₃a）+f（${log_{\frac{1}{3}}}a$）≥2f（1），
则有f（log₃a）+f（-log₃a）≥2f（1），
即2f（log₃a）≥2f（1）即f（log₃a）≥f（1），
即有f（|log₃a|）≥f（1），
由于f（x）在区间[0，+∞）上单调递减，
则|log₃a|≤1，即有-1≤log₃a≤1，
解得$\frac{1}{3}$≤a≤3．
故选C．

点评 本题考查函数的性质和运用，考查函数的奇偶性、单调性和运用，考查对数不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．