Question

若x²+y²-2ax+4y+a²+3=0与x²+y²-14x-2y+14=0所表示的曲线相互内切，则a的值为

11或3

．

Answer 1

分析：将两曲线方程化成圆的标准方程形式，可得它们表示以C₁（a，-2）、C₂（7，1）为圆心，半径分别为1和6的圆．再根据两圆内切的性质，利用两点的距离公式建立关于a的等式，解之即可得到实数a的值．

解答：解：曲线x²+y²-2ax+4y+a²+3=0化成标准方程，得（x-a）²+（y+2）²=1，
∴该曲线表示以C₁（a，-2）为圆心，半径r₁=1的圆．
同理，可得曲线x²+y²-14x-2y+14=0表示以以C₂（7，1）为圆心，半径r₂=6的圆．
∵两曲线相互内切，∴圆心C₁、C₂的距离等于两圆半径之差的绝对值，
即|C₁C₂|=|6-1|=5，可得

(a-7)2+(-2-1)2

=5，解之得a=11或3．
故答案为：11或3

点评：本题给出含有参数a的两圆相内切，求a的值．着重考查了圆的标准方程、两点间的距离公式和两圆位置关系等知识点，属于中档题．