Question

（2012•厦门模拟）本小题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．

（1）选修4﹣2：矩阵与变换

已知是矩阵属于特征值λ1=2的一个特征向量．

（I）求矩阵M；

（Ⅱ）若，求M10a．

（2）选修4﹣4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，A（l，0），B（2，0）是两个定点，曲线C的参数方程为为参数）．

（I）将曲线C的参数方程化为普通方程；

（Ⅱ）以A（l，0为极点，||为长度单位，射线AB为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

（3）选修4﹣5：不等式选讲

（I）试证明柯西不等式：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2（a，b，x，y∈R）；

（Ⅱ）若x2+y2=2，且|x|≠|y|，求的最小值．

 

Answer 1

见解析

【解析】

试题分析：（1）（I）由题意，根据特征值与特征向量的定义，建立方程组，即可求得矩阵M；

（Ⅱ）求出矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2），从而可求矩阵M的另一个特征值与特征向量，将向量用特征向量线性表示，进而可求结论；

（2）（I）由消去θ，即可得普通方程；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，从而可得曲线C的极坐标方程；

（3）（I）利用作差法即可证得；

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则，根据，可得u2+v2=4，由柯西不等式得：，从而可求的最小值．

（1）【解析】
（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ﹣1）（λ﹣2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x﹣2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x﹣1）2+y2=1，即x2+y2﹣2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ﹣2cosθ=0

（3）（I）证明：左边﹣右边=a2y2+b2x2﹣2abxy=（ay﹣bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x﹣y，则

∵，∴（u+v）2+（u﹣v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．