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精英家教网如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,且AD∥BC,∠ABC=∠PAD=
90°,侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=
12
AD.
(Ⅰ)求证:CD⊥平面PAC;
(Ⅱ)侧棱PA上是否存在点E,使得BE∥平面PCD?若存在,指出点E的位置并证明,若不存在,请说明理由;
(Ⅲ)求二面角A-PD-C的余弦值.
分析:(I)由已知易得,AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,分别求出各顶点的坐标,然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量,代入向量夹角公式,即可得到答案.
(II)设侧棱PA的中点是E,我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量,代入判断及得E点符合题目要求;
(III)求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量,然后代入向量夹角公式,即可求出二面角A-PD-C的余弦值.
解答:解:因为∠PAD=90°,所以PA⊥AD.又因为侧面PAD⊥底面ABCD,且侧面PAD∩底面ABCD=AD,所以PA⊥底面ABCD.又因为∠BAD=90°,
所以AB,AD,AP两两垂直.分别以AB,AD,AP为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,如图.精英家教网
设AD=2,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1).
(Ⅰ)证明:
AP
=(0,  0,  1)
AC
=(1,  1,  0)
CD
=(-1,  1,  0)

所以
AP
CD
=0
AC
CD
=0
,所以AP⊥CD,AC⊥CD.
又因为AP∩AC=A,所以CD⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)设侧棱PA的中点是E,则E(0,0,
1
2
)
BE
=(-1,0,
1
2
)

设平面PCD的一个法向量是n=(x,y,z),则
n•
CD
=0
n•
PD
=0

因为
CD
=(-1,1,0)
PD
=(0,2,  -1)

所以
-x+y=0
2y-z=0
取x=1,则n=(1,1,2).
所以n•
BE
=(1,1,2)•(-1,0,
1
2
)=0
,所以n⊥
BE

因为BE?平面PCD,所以BE∥平面PCD.(8分)
(Ⅲ)由已知,AB⊥平面PAD,所以
AB
=(1,0,0)
为平面PAD的一个法向量.
由(Ⅱ)知,n=(1,1,2)为平面PCD的一个法向量.
设二面角A-PD-C的大小为θ,由图可知,θ为锐角,
所以cosθ=
n•
AB
|n||
AB
|
=
(1,1,2)•(1,0,0)
6
×1
=
6
6

即二面角A-PD-C的余弦值为
6
6
.(13分)
点评:利用空间向量来解决立体几何夹角问题,其步骤是:建立空间直角坐标系?明确相关点的坐标?明确相关向量的坐标?通过空间向量的坐标运算求解.
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2
,∠PAB=60°.
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