精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,AB是圆O的直径,C,D是圆O上两点,AC与BD相交于点E,GC,GD是圆O的切线,点F在DG的延长线上,且DG=GF.求证:
(1)D、E、C、F四点共圆;
(2)GE⊥AB.
考点:圆內接多边形的性质与判定,圆的切线的性质定理的证明
专题:几何证明
分析:(1)如图,连接OC,OD,则OC⊥CG,OD⊥DG,可得四点O,D,G,C共圆.设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,可得∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.于是∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2).利用切线长定理可得DG=CG,而DG=GF,可得GF=GC.从而可得∠F=∠1+∠2.可得∠DEC+∠F=180°,即可证明.
(2)延长GE交AB于H.由GD=GC=GF,可得点G是经过D,E,C,F四点的圆的圆心.可得GE=GC,∠GCE=∠GEC.又∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,可得∠AEH+∠1=90°,进而得出证明.
解答:解:(1)如图,连接OC,OD,则OC⊥CG,OD⊥DG,
∴四点O,D,G,C共圆.
设∠CAB=∠1,∠DBA=∠2,∠ACO=∠3,
∠COB=2∠1,∠DOA=2∠2.
∴∠DGC=180°-∠DOC=2(∠1+∠2).
∵DG=GF,DG=CG.
∴GF=GC.
∴∠GCF=∠F.
∵∠DGC=2∠F,
∴∠F=∠1+∠2.
又∵∠DEC=∠AEB=180°-(∠1+∠2),
∴∠DEC+∠F=180°,
∴D,E,C,F四点共圆.
(2)延长GE交AB于H.
∵GD=GC=GF,
∴点G是经过D,E,C,F四点的圆的圆心.
∴GE=GC,
∴∠GCE=∠GEC.
又∵∠GCE+∠3=90°,∠1=∠3,
∴∠GEC+∠3=90°,
∴∠AEH+∠1=90°,
∴∠EHA=90°,
即GE⊥AB.
点评:本题综合考查了四点共圆的判定与性质、切线长定理、圆的切线的性质、互余角之间的关系、垂直的判定等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系,在我市某普通中学高中生中随机抽取200名学生,得到如下2×2列联表:
喜欢数学课 不喜欢数学课 合计
30 60 90
20 90 110
合计 50 150 200
(1)根据独立性检验的基本思想,约有多大的把握认为“性别与喜欢数学课之间有关系”?
(2)若采用分层抽样的方法从喜欢数学课的学生中随机抽取5人,则男生和女生抽取的人数分别是多少?
(3)在(2)的条件下,从中随机抽取2人,求恰有一男一女的概率.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

在航天员进行的一项太空实验中,先后要实施6个程序,其中程序B和C都不与D相邻,则实验顺序的编排方法共有(  )
A、216种B、288种C、180种D、144种

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

如图,△COD是△AOB绕点O顺时针旋转36°后得到的图形,点C恰好在AB上,∠AOD的度数是90°,则∠B的度数是
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列四边形中,四个顶点一定在同一个圆上的是(  )
A、平行四边行B、菱形C、矩形D、直角梯形

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

函数f(x)=
.
2cosxsinx
sinx2cosx
.
的最小正周期为
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知矩阵A=
a
0
1
b
把点(1,1)变换成点(2,2)
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

下列那些点既在曲线C1
x=
5
cosθ
y=sinθ
(0≤θ<π,θ为参数)又在曲线 C2
x=
5
4
t2
y=t
(t∈R,t为参数)上(  )
A、(1,
2
5
5
B、(-1,±
2
5
5
C、(1,
2
5
5
D、(1,±
2
5
5

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

对于任意的两个实数对(a, b)和(c, d),规定(a, b)=(c, d)当且仅当a=c ,b=d;运算
”为:,运算“”为:
,设,若
(     )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

同步练习册答案