Question

12．已知f（x）=x|x-a|-$\frac{1}{4}$，x∈R．
（1）a=1时，指出f（x）单调区间和奇偶性；
（2）a=1时，求y=f（2x）零点；
（3）对任何x∈[0，1]，不等式f（x）＜0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当a=1时，利用分段函数的图象得出函数的单调区间和函数f（x）的奇偶性；
（2）当a=1时，f（x）=x|x-1|-$\frac{1}{4}$，欲求函数y=f（2^x）的零点，即求对应方程的根．由f（2^x）=0解得x的值即可；
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为$|x-a|＜\frac{1}{4x}$，即$x-\frac{1}{4x}＜a＜x+\frac{1}{4x}$．再构造函数，研究其最值即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=x|x-a|-$\frac{1}{4}$=x|x-1|-$\frac{1}{4}$，
则当x≥1时，f（x）=x|x-1|-$\frac{1}{4}$=x²-x-$\frac{1}{4}$=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{2}$，
当x＜1时，f（x）=x|x-1|-$\frac{1}{4}$=-x²+x-$\frac{1}{4}$=-（x-$\frac{1}{2}$）²，
∴函数的单调递减区间为$[{\frac{1}{2}，1}]$，函数的递增区间为（-∞，$\frac{1}{2}$]和[1，+∞），
函数f（x）既不是奇函数也不是偶函数．        
（2）当a=1时，$f（x）=x|x-1|-\frac{1}{4}$，
由f（2^x）=0得${2^x}|{2^x}-1|-\frac{1}{4}=0$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}≥1}\\{{{（{2^x}）}^2}-{2^x}-\frac{1}{4}=0}\end{array}}\right.$或$\left\{{\begin{array}{l}{{2^x}＜1}\\{{{（{2^x}）}^2}-{2^x}+\frac{1}{4}=0}\end{array}}\right.$，
解得${2^x}=\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}或{2^x}=\frac{{1-\sqrt{2}}}{2}（舍），或{2^x}=\frac{1}{2}$
所以$x={log_2}\frac{{1+\sqrt{2}}}{2}={log_2}（1+\sqrt{2}）-1$或x=-1．
（3）当x=0时，a取任意实数，不等式f（x）＜0恒成立，
故只需考虑x∈（0，1]，此时原不等式变为$|x-a|＜\frac{1}{4x}$
即$x-\frac{1}{4x}＜a＜x+\frac{1}{4x}$，
故${（x-\frac{1}{4x}）_{max}}＜a＜{（x+\frac{1}{4x}）_{min}}，x∈（{0，1}]$
又函数$g（x）=x-\frac{1}{4x}$在（0，1]上单调递增，
∴${（x-\frac{1}{4x}）_{max}}=g（1）=\frac{3}{4}$，
函数$h（x）=x+\frac{1}{4x}$在$（{0，\frac{1}{2}}]$上单调递减，在$[{\frac{1}{2}，1}]$上单调递增，
∴${（x+\frac{1}{4x}）_{min}}=h（\frac{1}{2}）=1$；
∴$\frac{3}{4}＜a＜1$，
即实数a的取值范围是$（{\frac{3}{4}，1}）$．

点评 本题以分段函数为载体，考查函数的奇偶性单调性、恒成立等问题，利用数形结合是解决本题的关键．