Question

12．已知函数f（x）=lnx-$\frac{{{x^2}-2x+1}}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）证明：当x＞1时，f（x）＜x-1．

Answer 1

分析 （1）首先对f（x）进行求导，令f'（x）＞0，解出x的范围即单调区间；
（2）令g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），则$g'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），
$f'（x）=\frac{1}{x}-x+1=\frac{{-{x^2}+x+1}}{x}$，
令f'（x）＞0，得$\left\{\begin{array}{l}x＞0\\-{x^2}+x+1＞0\end{array}\right.$，解得$0＜x＜\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}$，
所以函数f（x）的单调递增区间是$（{0，\frac{{1+\sqrt{5}}}{2}}）$．
（2）令g（x）=f（x）-（x-1），x∈（1，+∞），
则$g'（x）=\frac{{1-{x^2}}}{x}＜0$在（1，+∞）上恒成立，所以g（x）在（1，+∞）上单调递减，
所以当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即当x＞1时，f（x）＜x-1．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数求函数最值与恒成立问题，属中等题．