Question

7．求下列函数的解析式：
（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=4x-3，求f（x）；
（2）已知f（$\sqrt{x}-1$）=x+$\sqrt{x}$+1，求f（x）．

Answer 1

分析 （1）根据题意即可设f（x）=kx+b（k≠0），根据条件即可建立关于k，b的方程组，解出k，b便可求出f（x）；
（2）考虑换元法求f（x），可令$\sqrt{x}-1=t$，（t≥1），可解出x代入$f（\sqrt{x}-1）=x+\sqrt{x}+1$，整理后即可得出f（t），从而得出f（x）．

解答 解：（1）设f（x）=kx+b（k≠0），则：
f[f（x）]=k（kx+b）+b=4x-3；
即$\left\{\begin{array}{l}{k^2}=4\\ kb+b=-3\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}k=2\\ b=-1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ b=3\end{array}\right.$；
∴y=2x-1或y=-2x+3；
（2）令$\sqrt{x}-1=t（t≥-1）$，则$\sqrt{x}=t+1$，x=（t+1）²；
∴f（t）=（t+1）²+t+1+1=t²+3t+3；
∴f（x）=x²+3x+3（x≥-1）．

点评 考查函数解析式的定义及求法，待定系数求函数解析式的方法，一次函数的一般形式，换元法求函数解析式．