Question

求函数y=log_0.3（2x+8-x²）的单调区间和值域.

Answer 1

解析：利用复合函数的单调性法则(同增异减),而求值域的关键是先求出对数的真数的取值范围,再由对数函数的单调性求得对数值的范围.

解：因为2x+8-x²＞0，即x²-2x-8＜0,解得-2＜x＜4，所以此函数的定义域为（-2,4），

    又令u=2x+8-x²,则y=log_0.3u.因为y=log_0.3u为定义域上的减函数,

    所以y=log_0.3（2x+8-x²）的单调性与u=2x+8-x²的单调性相反.

    对于函数u=2x+8-x²,x∈（-2,4）.

    当x∈（-2，1]时为增函数;当x∈［1，4)时为减函数.

    所以函数y=log_0.3（2x+8-x²）的增区间为［1，4),减区间为（-2，1]，

    又因为u=2x+8-x²=-（x-1）²+9，

    所以当x∈（-2,4）时, 0＜u≤qlog_0.3u≥log_0.39,

    即函数y=log_0.3（2x+8-x²）的值域为 ［log_0.39,+∞)．