【题目】在某大学自主招生的面试中,考生要从规定的6道科学题,4道人文题共10道题中,随机抽取3道作答,每道题答对得10分,答错或不答扣5分,已知甲、乙两名考生参加面试,甲只能答对其中的6道科学题,乙答对每道题的概率都是,每个人答题正确与否互不影响.
(1)求考生甲得分的分布列和数学期望
;
(2)求甲,乙两人中至少有一人得分不少于15分的概率.
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【题目】己知在平面直角坐标系中,圆
的参数方程为
(
为参数)以
轴为极轴,
为极点建立极坐标系,在该极坐标系下,圆
是以点
为圆心,且过点
的圆心.
(1)求圆及圆
在平而直角坐标系
下的直角坐标方程;
(2)求圆上任一点
与圆
上任一点之间距离的最小值.
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【题目】设函数(
为自然对数的底数),
,
.
(1)若是
的极值点,且直线
分别与函数
和
的图象交于
,求
两点间的最短距离;
(2)若时,函数
的图象恒在
的图象上方,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆的中心在原点,焦点在
轴上,离心率
.以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形的周长为8,面积为
.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若点为椭圆
上一点,直线
的方程为
,求证:直线
与椭圆
有且只有一个交点.
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【题目】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min.在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,cosA= ,cosC=
(1)求索道AB的长;
(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?
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【题目】已知直线(
)与
轴交于
点,动圆
与直线
相切,并且与圆
相外切,
(1)求动圆的圆心的轨迹
的方程;
(2)若过原点且倾斜角为的直线与曲线
交于
两点,问是否存在以
为直径的圆经过点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知向量,向量
,函数
.
(1)求的单调减区间;
(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把得到的图象向左平移
个单位长度,得到
的图象,求函数
的解析式及其图象的对称中心.
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【题目】已知函数f(x)=x﹣[x],其中[x]表示不超过实数x的最大整数.若关于x的方程f(x)=kx+k有三个不同的实根,则实数k的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
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