Question

14．已知函数f（x）=-x³+ax-$\frac{1}{4}$，g（x）=e^x-e（其中e为自然对数的底数）
（I）若曲线y=f（x）在（0，f（0））处的切线与曲线y=g（x）在（0，g（0））处的切线互相垂直，求实数a的值．
（Ⅱ）设函数h（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x），f（x）≥g（x）}\\{g（x），f（x）＜g（x）}\\{\;}\end{array}\right.$，讨论函数h（x）零点的个数．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分别求出两个函数的导函数，求得它们在x=0处的导数值，由导数值乘积等于-1求得a值；
（Ⅱ）函数g（x）=e^x-e在实数集上为单调增函数，且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，求出f（x）的导函数，当a≤0时，由导数f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；然后分类讨论判断当a＞0时f（x）的极值点的情况得答案．

解答 解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=-3x²+a，g′（x）=e^x，
则f′（0）=a，g′（0）=1，则a=-1；
（Ⅱ）函数g（x）=e^x-e在实数集上为单调增函数，
且仅在x=1处有一个零点，且x＜1时，g（x）＜0，
又f′（x）=-3x²+a，
①当a≤0时，f′（x）≤0，f（x）在实数集上单调递减，且过点（0，-$\frac{1}{4}$），f（-1）=$\frac{3}{4}-a＞0$，
即f（x）在x≤0时必有一个零点，此时y=h（x）有两个零点；
②当a＞0时，令f′（x）=0，得两根${x}_{1}=-\sqrt{\frac{a}{3}}＜0$，${x}_{2}=\sqrt{\frac{a}{3}}＞0$，
则$-\sqrt{\frac{a}{3}}$是函数f（x）的一个极小值点，$\sqrt{\frac{a}{3}}$是f（x）的一个极大值点．
而f（-$\sqrt{\frac{a}{3}}$）=-$（-\sqrt{\frac{a}{3}}）^{3}+a（-\sqrt{\frac{a}{3}}）-\frac{1}{4}=-\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}＜0$，
现在讨论极大值的情况：
$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）=-（\sqrt{\frac{a}{3}}）^{3}+a\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}=\frac{2a}{3}\sqrt{\frac{a}{3}}-\frac{1}{4}$
当$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＜0，即a＜$\frac{3}{4}$时，函数f（x）在（0，+∞）恒小于0，此时y=h（x）有两个零点；
当$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$=0，即a=$\frac{3}{4}$时，函数f（x）在（0，+∞）上有一解${x}_{0}=\sqrt{\frac{a}{3}}=\frac{1}{2}$，此时y=h（x）有三个零点；
当$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＞0，即a＞$\frac{3}{4}$时，函数f（x）在（0，+∞）上有两个解，一个小于$\sqrt{\frac{a}{3}}$，一个大于$\sqrt{\frac{a}{3}}$．
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$＜0，即a＜$\frac{5}{4}$时，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＜1，此时y=h（x）有四个零点；
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$=0，即a=$\frac{5}{4}$时，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$=1，此时y=h（x）有三个零点；
若f（1）=-1+a-$\frac{1}{4}$＞0，即a＞$\frac{5}{4}$时，$f（\sqrt{\frac{a}{3}}）$＞1，此时y=h（x）有两个零点．
综上所述，①$a＜\frac{3}{4}$或a$＞\frac{5}{4}$时，y=h（x）有两个零点；
②a=$\frac{3}{4}$或a=$\frac{5}{4}$时，y=h（x）有三个零点；
③$\frac{3}{4}＜a＜\frac{5}{4}$时，y=h（x）有四个零点．

点评 本题考查利用导数研究函数的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，训练了函数两点的判定方法，考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度较大．