Question

2．已知函数f（x）对任意的实数满足：f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，且当-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，当-1≤x＜3时，f（x）=x．则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2016）=336．

Answer 1

分析 根据题意可得f（x+6）=f（x），求出函数的周期，由解析式和周期性依次求出f（1），f（2），f（3），f（4），f（5），f（6）的值，再求和，最后运用周期性求f（1）+f（2）+…+f（2013）+f（2016）的值即可．

解答 解：由题意知，f（x+3）=-$\frac{1}{f（x）}$，
则f（x+6）=-$\frac{1}{f（x+3）}$=f（x），
∴f（x+6）=f（x），且函数f（x）的周期6，
∵-3≤x＜-1时，f（x）=-（x+2）²，
当-1≤x＜3时，f（x）=x，
f（1）=1，f（2）=2，
f（3）=f（-3）=-（-3+2）²=-1，
f（4）=f（-2）=-（-2+2）²=0，
f（5）=f（-1）=-1，
f（6）=f（0）=0，
故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）=1，
而2016÷6=336
故f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2 016）
=336×（f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6））=336，
故答案为：336．

点评 本题考查了函数的周期性的应用及整体思想的应用．