Question

17．设函数f（x）=|2x-1|-|x+$\frac{3}{2}$|．
（1）解不等式f（x）＜0；
（2）若?x₀∈R，使得f（x₀）+3m²＜5m，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过讨论x的范围，解不等式，取并集即可；（2）求出f（x）的最小值，得到关于m的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-x，x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-\frac{5}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
当x＜-$\frac{3}{2}$时，即$\frac{5}{2}$-x＜0，无解，
当-$\frac{3}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，即-3x-$\frac{1}{2}$＜0，解得：-$\frac{1}{6}$＜x≤$\frac{1}{2}$，
当x＞$\frac{1}{2}$时，即x-$\frac{5}{2}$＜0，解得：$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{5}{2}$，
综上所述，-$\frac{1}{6}$＜x＜$\frac{5}{2}$．
（2）∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}-x，x＜-\frac{3}{2}}\\{-3x-\frac{1}{2}，-\frac{3}{2}≤x≤\frac{1}{2}}\\{x-\frac{5}{2}，x＞\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴当x∈（-∞，$\frac{1}{2}$）时，函数f（x）单调递减，
当x∈（$\frac{1}{2}$，+∞）时，函数f（x）单调递增，
∴当x=$\frac{1}{2}$时，函数f（x）_min=f（$\frac{1}{2}$）=-2，
∴只需5m-3m²＞-2，解得：-$\frac{1}{3}$＜m＜2．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．