Question

6．在二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{\root{4}{x}}}$）ⁿ的展开式中只有第五项的二项式系数最大，把展开式中所有的项重新排成一列，则有理项都互不相邻的概率为$\frac{5}{12}$．

Answer 1

分析 由二项式系数的性质得到n的值，由通项公式可得展开式中的有理项的个数，求出9项的全排列数，由插空排列求出有理项都互不相邻的排列数，最后由古典概型概率计算公式得答案．

解答 解：∵在二项式（$\sqrt{x}$+$\frac{2}{{\root{4}{x}}}$）ⁿ的展开式中只有第五项的二项式系数最大，
∴二项式的二项展开式共有9项，则n=8．
其通项为T_r+1=${C}_{8}^{r}$•2^r•${x}^{\frac{16-3r}{4}}$，故当r=0，4，8时，项为有理项．
展开式的9项全排列共有${A}_{9}^{9}$种，
有理项互不相邻可把6个无理项全排，把3个有理项在形成的7个空中插孔即可，有${A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}$种．
∴有理项都互不相邻的概率为$\frac{{A}_{6}^{6}{•A}_{7}^{3}}{{A}_{9}^{9}}$=$\frac{5}{12}$，
故答案为：$\frac{5}{12}$．

点评 本题考查二项式系数的性质，考查简单的排列组合知识，训练了利用古典概型概率计算公式求概率，是中档题．