Question

12．已知一个几何体的三视图如图所示，若该几何体外接球的表面积为8π，则h=（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，通过尺寸计算，底面是等腰直角三角形，采用“补形还原法”，该几何体是底面边长为$\sqrt{2}$的正方形，高为h的长方体．根据长方体外接球直径等于长方体对角线．即可求出答案．

解答 解：由已知中的三视图，可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱锥，
采用“补形还原法”，该几何体是底面边长为$\sqrt{2}$的正方形，
高为h的长方体．根据长方体的外接球的直径是它的对角线，即2R=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$
由题意：外接球的表面积为8π，
∴R=$\sqrt{2}$
又∵2R=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2}}$
∴$2\sqrt{2}=\sqrt{2+2+{h}^{2}}$
∴解得：h=2
故选D．

点评 本题考查的知识点是三视图的认识和球的结合，解决本题的关键是知道该几何体的形状，直棱柱类型，可以采用“补形还原法”补形成我们熟悉的图形来求解．属于基础题．