Question

已知函数f（x）=lnx-px+1（p∈R）．
（1）p=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值；
（3）若对任意的x＞0，恒有f（x）≤p²x²，求实数p的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出切线斜率，切点坐标，可得曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求导数，分类讨论，确定函数的单调性，从而可求函数f（x）的极值；
（3）记g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0），求导数，分类讨论，确定g（x）的最大值，解不等式，可求p的取值范围．

解答：解：（1）p=1，f'（1）=1-1=0，f（1）=0-1+1=0，∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y=0（2分）
（2）f′(x)=

1

x

-p(x＞0)
当p≤0时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增，函数f（x）无极值；　　　（4分）
当p＞0时，(0，

1

p

)上f'（x）＞0，f（x）单调递增；(

1

p

，+∞)上f'（x）＜0，f（x）单调递减
∴f（x）的极大值为f(

1

p

)=-lnp，f（x）无极小值　　　　　（6分）
（3）记g（x）=f（x）-p²x²=lnx-px+1-p²x²（x＞0）
∴g′(x)=

1

x

-p-2p2x=

(px+1)(2px-1)

-x

（7分）
当p=0时，g（x）=lnx+1，g（e）＞0不符合条件　　　　　　（8分）
当p＞0时，px+1＞0，(0，

1

2p

)上g'（x）＞0，g（x）单调递增；(

1

2p

，+∞)上g'（x）＜0，g（x）单调递减
∴g（x）的最大值为g(

1

2p

)=-ln(2p)+

1

4

≤0，∴p≥

4 e

2

（10分）
当p＜0时，2px-1＜0，(0，

-1

p

)上g'（x）＞0，g（x）单调递增；(

-1

p

，+∞)上g'（x）＜0，g（x）单调递减
∴g（x）的最大值为g(

-1

p

)=-ln(-p)+1≤0，∴p≤-e
故p的取值范围是(-∞，-e]∪[

4 e

2

，+∞)（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的极值，考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导与分类是关键．