Question

设函数f(x)=|x²-4x-5|.

（1）在区间［-2，6］上画出函数f(x)的图象.

（2）设集合A={x|f(x)≥5},B=(-∞,-2］∪［0,4］∪［6,+∞).试判断集合A和B之间的关系，并给出证明.

（3）当k＞2时，求证：在区间［-1，5］上，y=kx+3k的图象位于函数f(x)图象的上方.

Answer 1

（1）解析：

（2）解析：方程f(x)=5的解分别是2-，0，4和2+，由于f(x)在（-∞,-1］和［2，5］上单调递减，在［-1,2］和［5,+∞)上单调递增，因此

A=（-∞,2-］∪［0,4］∪［2+,+∞).

由于2+＜6,2-＞-2,∴BA.

(3)证明:当x∈［-1,5］时，f(x)=-x²+4x+5.

g(x)=k(x+3)-(-x²+4x+5)

=x²+(k-4)x+(3k-5)

=(x-)²-,

∵k＞2,∴＜1.又-1≤x≤5,

①当-1≤＜1,即2＜k≤6时，取x=.

g(x)_min=-=-［(k-10)²-64］.

∵16≤(k-10)²＜64,

∴(k-10)²-64＜0,

则g(x)_min＞0.

②当＜-1,即k＞6时，取x=-1,g(x)_min=2k＞0.

由①、②可知，当k＞2时，g(x)＞0,x∈［-1,5］.

因此，在区间［-1，5］上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)图象的上方.