Question

设有函数f(x)=asin(kx+

π

3

)和φ(x)=btan(kx-

π

3

)，k＞0，若它们的最小正周期的和为

3π

2

，且f(

π

2

)=ϕ(

π

2

)，f(

π

4

)=-

3

ϕ(

π

4

)+1，求f（x）和ϕ（x）的解析式．

Answer 1

f（x）的最小正周期为

2π

k

，ϕ（x）的最小正周期为

π

k

，
依题意知：

2π

k

+

π

k

=

3π

2

，解得k=2，
∴f（x）=asin（2x+

π

3

），φ（x）=btan（2x-

π

3

），
∵

f( π 2 )=ϕ( π 2 ) f( π 4 )=- 3 ϕ( π 4 )+1

，
∴

asin 4 3 π=btan 2π 3 asin 5π 6 =- 3 btan π 6 +1

，
即

- 3 2 a=- 3 b a 2 =-b+1

，
解得：

a=1 b= 1 2

，
∴f（x）=sin（2x+

π

3

），φ（x）=

1

2

tan（2x-

π

3

）．