Question

6．若$\overrightarrow{a，}\overrightarrow b$为平面向量，$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，$\overrightarrow b⊥（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）$，则$\overrightarrow{a，}\overrightarrow b$夹角为60°．

Answer 1

分析 由已知可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，代入数量积公式求得$\overrightarrow{a，}\overrightarrow b$夹角的余弦值，则答案可求．

解答 解：由$\overrightarrow a⊥（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）$，$\overrightarrow b⊥（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）$，得
$\overrightarrow{a}•（\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}）=|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$①，
$\overrightarrow{b}•（\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{a}）=|\overrightarrow{b}{|}^{2}-2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$②，
由①②可得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{1}{2}$．
∵两向量夹角范围为[0°，180°]，
∴$\overrightarrow{a，}\overrightarrow b$夹角为60°．
故答案为：60°．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，训练了利用数量积求斜率的夹角，是中档题．