Question

14．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x（元）	8	8.2	8.4	8.6	8.8	9
销量y（件）	90	84	83	80	75	68

（1）求回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，其中$\stackrel{∧}{b}$=-20，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$
（2）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）

Answer 1

分析 （1）利用回归直线过样本的中心点（$\overline{x}$，$\overline{y}$），即可求出回归直线方程；
（2）设工厂获得利润为L元，利用利润=销售收入-成本，建立函数关系，用配方法求出工厂获得的最大利润．

解答 解：（1）由题意，$\overline{x}$=$\frac{1}{6}$（8+8.2+8.4+8.6+8.8+9）=8.5，
$\overline{y}$=$\frac{1}{6}$（90+84+83+80+75+68）=80；
∵y=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$，$\stackrel{∧}{b}$=-20
∴80=-20×8.5+$\stackrel{∧}{a}$，
∴$\stackrel{∧}{a}$=250
∴$\stackrel{∧}{y}$=-20x+250．
（2）设工厂获得的利润为L元，则
L=x（-20x+250）-4（-20x+250）=-20${（x-\frac{33}{4}）}^{2}$+361.25，
∴该产品的单价应定为$\frac{33}{4}$元时，工厂获得的利润最大．

点评 本题考查了回归分析，考查了二次函数的应用问题，是基础题目．