Question

已知曲线C上任意一点P到两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）的距离之和为4．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设曲线C与x轴负半轴交点为A，过点M（-4，0）作斜率为k的直线l交曲线C于B、C两点（B在M、C之间），N为BC中点．
  （ⅰ）证明：k•k_ON为定值；
  （ⅱ）是否存在实数k，使得F₁N⊥AC？如果存在，求直线l的方程，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用P到两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）的距离之和为4，可得P的轨迹是以F₁（-1，0）与F₂（1，0）为焦点的椭圆，且c=1，a=2，从而可得曲线C的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）设过点M的直线l的方程为y=k（x+4），与椭圆方程联立，求出N的坐标，可得kON=-

3

4k

，即可得出结论；
（ⅱ）假设存在实数k，使得F₁N⊥AC，则k_AC•k_FN=-1，利用斜率公式，即可得出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵P到两定点F₁（-1，0）与F₂（1，0）的距离之和为4，
P的轨迹是以F₁（-1，0）与F₂（1，0）为焦点的椭圆，且c=1，a=2，
∴b=

22-12

=

3

，
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）设过点M的直线l的方程为y=k（x+4），设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂） （x₂＞y₂）．
（ⅰ）证明：联立方程组

y=k(x+4) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²+32k²x+64k²-12=0，
则

x1+x2= -32k2 4k2+3 x1x2= 64k2-12 4k2+3

，故xN=

x1+x2

2

=

-16k2

4k2+3

，yN=k(xN+4)=

12k

4k2+3

，
∴kON=-

3

4k

，∴k•k_ON=-

3

4

为定值．
（ⅱ）解：若F₁N⊥AC，则k_AC•k_FN=-1，
∵F₁ （-1，0），kF1N=

12k 4k2+3

-16k2 4k2+3 +1

=

4k

1-4k2

，
∴

y2

x2+2

•

4k

1-4k2

=-1，
代入y₂=k（x₂+4）得x₂=-2-8k²，y₂=2k-8k³，
而x₂≥-2，故只能k=0，显然不成立，
∴这样的直线不存在．…（15分）

点评：本题考查椭圆的定义与方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．