Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长都等于2，D在AC₁上，F为BB₁中点，且FD⊥AC₁，
（1）试求的值；
（2）求二面角F-AC₁-C的大小；
（3）求点C₁到平面AFC的距离。

Answer 1

解：（1）连AF，FC1， 因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱且各棱长都等于2， 又F为BB1中点， ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F， ∴AF=FC1， 又在△AFC1中，FD⊥AC1， 所以D为AC1的中点，即； （2）取AC的中点E，连接BE及DE， 则得DE与FB平行且相等， 所以四边形DEBF是平行四边形， 所以FD与BE平行， 因为三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱， 所以△ABC是正三角形， ∴BE⊥AC， ∴FD⊥AC， 又∵FD⊥AC1， ∴FD⊥平面ACC1， ∴平面AFC1⊥平面ACC1， 所以二面角F-AC1-C的大小为90°。　 （3）运用等积法求解：AC=2，AF=CF=， 可求， ， ， 得。